lunes, 10 de noviembre de 2014
Conclusión
Conclusión
Los Circuitos Lógicos son una parte muy importante en el
manejo de información en los dispositivos que requieren de la selección o
combinación de señales de manera controlada y estos son utilizados en
diferentes sectores, como la telefonía y las computadoras digitales entres
otros.
Minimización de circuitos mediante mapas de Karnaugh
Minimización de circuitos mediante mapas de Karnaugh
Considérese una expresión
booleana E en forma de suma de productos. A fin de encontrar la expresión
booleana F equivalente a E en forma minimal de suma de productos, se siguen los
siguientes pasos:
• Se construye la gráfica de
Karnaugh, de acuerdo con el número de variables de E.
• En dicha gráfica se representan
todos los productos fundamentales de E mediante cruces.
• Se encierran todas las cruces
mediante óvalos que contengan 2n cruces adyacentes.
Cada óvalo debe encerrar la mayor
cantidad posible de cruces.
• Se escribe la expresión F como
suma de los productos fundamentales representados por los óvalos resultantes.
Veamos cómo funciona este método
mediante ejemplos.
Ejemplos Nº1: Sea la siguiente
expresión E, encuentre su forma minimal de suma de productos F y dibuje el
circuito correspondiente.
En este caso, puede elegirse cualquiera de los dos óvalos
punteados, obteniéndose F1 si se elige el óvalo vertical y F2 si se elige el
óvalo horizontal. Dibujamos el circuito correspondiente a F1.
Ejemplos Nº2: Sea la siguiente expresión E, encuentre su
forma minimal de suma de productos F.
Mapas de más de 6 variables
Mapas de más de 6 variables
A la vista de los expuesto en estos
apartados, se puede extrapolar en teoría el método a cualquier número de
variables duplicando cada vez el número de mapas K de 4 variables.
Se puede constatar, sin embargo, que
la dificultad de formar grupos hace que la probabilidad de cometer errores
aumente significativamente con el número de variables consideradas. Esto hace
que sea desaconsejable el uso de este método para muchas variables y se utilice
otra alternativa.
Mapas de karnaugh de 2, 3, 5 y 6 variables
Mapas de karnaugh de 2, 3,
5 y 6 variables
Mapas
de karnaugh de 2 variables
Como ocurre para todos los Mapas K, el
primer paso del procedimiento es el dibujo del mapa de Karnaugh para el número
de variables con las que se está trabajando. En este caso, el mapa de 2
variables: A y B, será como el que se muestra en la siguiente figura:
En este caso, las 2 variables generan
4 casillas con equivalente numérico decimales 0, 2, 1 y 3. Téngase en cuenta
que al colocar estos equivalente decimales se considera que las variables se
ordenan de la forma AB siendo A la más significativa, y B la menos
significativa. Por eso, el valor de A=1y B=0 da lugar al decimal 2.
El procedimiento para obtener la
función algebraica es exactamente igual, aunque evidentemente, más sencillo de
aplicar.
Mapas
de Karnaugh de 3 variables
Los mapas K de tres variables se
realizan sobre un mapa como el que se muestra en la siguiente figura para las
variables A, B y C:
Mapa K de 3 variables
En este caso, se puede observar
que se agrupan las variables AB para identificar las columnas dejando la C para
identificar las dos filas. Podría haberse hecho al revés (en un formato con dos
columnas asignado a 1 variable y cuatro filas asignado a 2 variables) sin que
influya en el resultado final. Simplemente, es necesario ser coherente en la
aplicación del método a la hora de extraer la función algebraica. Como se puede
intuir, el procedimiento es el mismo aunque de aplicación más sencilla que para
el caso de 4 variables.
Mapa
de Karnaugh de 5 variables
En este caso, al ser 5 variables,
se dispondrán de 2^5 = 32 casillas. Para hacer una representación del
mapa correspondiente a las variables A,B,C,D y E se debe realizar un gráfico
como el de la siguiente figura:
Mapa K de 5 variables
El resultado es un mapa de
Karnaugh de 4 variables, el primero de ellos para A= 0 y el segundo para A=1.
Las variables se han puesto en color azul y los valores numéricos de las
casillas de color rojo.
Las variables se han ordenado de
la forma ABCDE. Para comprobar esta circunstancia se puede observar que la
casilla identificada ABCDE = 00001 (mapa de la izquierda, primera columna,
segunda fila) tiene el valor decimal 1.
La aplicación del procedimiento
es similar al de 4 variables aunque a la hora de encontrar casillas adyacentes,
las casillas situadas en ambos mapas en la misma posición relativa se “tocan”.
Es decir, es como si el mapa de la izquierda estuviera situado sobre el
de la derecha de forma que las casillas BCDE=0000 de ambos mapas son adyacentes
y así con el resto de casillas cuyos valores BCDE sean iguales.
Esto da lugar a una mayor
posibilidad de combinaciones a la hora de realizar grupos (ahora tiene más
sentido llamarlo cubos) y es necesario estar atento durante la realización del
procedimiento.
Mapa de Karnaugh de 6 variables
El mapa K de 6 variables es una
nueva extensión del de 4 variables, aunque ahora es necesario alojar a 2^6 = 64
casillas. En la figura siguiente se puede observar una representación
cuando las variables son ABCDEF:
Mapa K de 6 variables
Ahora, las variables A y B son
las que se utilizan para identificar cada uno de los 4 mapas K de 4 variables.
El procedimiento de obtención de
grupos (o cubos) es, en concepto, el mismo que para los casos anteriores. Sin
embargo, la búsqueda de adyacencias para formar los grupos debe extenderse a
las casillas equivalente de los mapas de la izquierda (o derecha) y de arriba
(o abajo). Esto incrementa la dificultad de realizar el procedimiento
correctamente.
Mapas de Karnaugh
Mapas
de Karnaugh
El método de los mapas de Karnaugh es un método gráfico
para encontrar las formas minimales de sumas de productos para expresiones
booleanas que involucran un máximo de seis variables. Aquí sólo trataremos los
casos de dos, tres y cuatro variables.
Dado un conjunto de variables {A1, A2, …, AN}, pueden con
ellas formarse los productos fundamentales Pi que contienen todas las
variables, o bien en su forma complementada o bien en su forma no
complementada. De tales productos fundamentales, se dice que P1 y P2 son
adyacentes si difieren exactamente en un literal, el cual tiene que ser una
variable complementada en uno de los productos y no complementada en el otro.
Por ejemplo, si el conjunto de variables es {A, B, C, D}:
En un mapa de Karnaugh, cada uno de los productos fundamentales
Pi que contienen todas las variables es representado gráficamente por un
cuadrado, y la relación de adyacencia entre tales productos es representada por
la adyacencia geométrica.
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