lunes, 10 de noviembre de 2014
Conclusión
Conclusión
Los Circuitos Lógicos son una parte muy importante en el
manejo de información en los dispositivos que requieren de la selección o
combinación de señales de manera controlada y estos son utilizados en
diferentes sectores, como la telefonía y las computadoras digitales entres
otros.
Minimización de circuitos mediante mapas de Karnaugh
Minimización de circuitos mediante mapas de Karnaugh
Considérese una expresión
booleana E en forma de suma de productos. A fin de encontrar la expresión
booleana F equivalente a E en forma minimal de suma de productos, se siguen los
siguientes pasos:
• Se construye la gráfica de
Karnaugh, de acuerdo con el número de variables de E.
• En dicha gráfica se representan
todos los productos fundamentales de E mediante cruces.
• Se encierran todas las cruces
mediante óvalos que contengan 2n cruces adyacentes.
Cada óvalo debe encerrar la mayor
cantidad posible de cruces.
• Se escribe la expresión F como
suma de los productos fundamentales representados por los óvalos resultantes.
Veamos cómo funciona este método
mediante ejemplos.
Ejemplos Nº1: Sea la siguiente
expresión E, encuentre su forma minimal de suma de productos F y dibuje el
circuito correspondiente.
En este caso, puede elegirse cualquiera de los dos óvalos
punteados, obteniéndose F1 si se elige el óvalo vertical y F2 si se elige el
óvalo horizontal. Dibujamos el circuito correspondiente a F1.
Ejemplos Nº2: Sea la siguiente expresión E, encuentre su
forma minimal de suma de productos F.
Mapas de más de 6 variables
Mapas de más de 6 variables
A la vista de los expuesto en estos
apartados, se puede extrapolar en teoría el método a cualquier número de
variables duplicando cada vez el número de mapas K de 4 variables.
Se puede constatar, sin embargo, que
la dificultad de formar grupos hace que la probabilidad de cometer errores
aumente significativamente con el número de variables consideradas. Esto hace
que sea desaconsejable el uso de este método para muchas variables y se utilice
otra alternativa.
Mapas de karnaugh de 2, 3, 5 y 6 variables
Mapas de karnaugh de 2, 3,
5 y 6 variables
Mapas
de karnaugh de 2 variables
Como ocurre para todos los Mapas K, el
primer paso del procedimiento es el dibujo del mapa de Karnaugh para el número
de variables con las que se está trabajando. En este caso, el mapa de 2
variables: A y B, será como el que se muestra en la siguiente figura:
En este caso, las 2 variables generan
4 casillas con equivalente numérico decimales 0, 2, 1 y 3. Téngase en cuenta
que al colocar estos equivalente decimales se considera que las variables se
ordenan de la forma AB siendo A la más significativa, y B la menos
significativa. Por eso, el valor de A=1y B=0 da lugar al decimal 2.
El procedimiento para obtener la
función algebraica es exactamente igual, aunque evidentemente, más sencillo de
aplicar.
Mapas
de Karnaugh de 3 variables
Los mapas K de tres variables se
realizan sobre un mapa como el que se muestra en la siguiente figura para las
variables A, B y C:
Mapa K de 3 variables
En este caso, se puede observar
que se agrupan las variables AB para identificar las columnas dejando la C para
identificar las dos filas. Podría haberse hecho al revés (en un formato con dos
columnas asignado a 1 variable y cuatro filas asignado a 2 variables) sin que
influya en el resultado final. Simplemente, es necesario ser coherente en la
aplicación del método a la hora de extraer la función algebraica. Como se puede
intuir, el procedimiento es el mismo aunque de aplicación más sencilla que para
el caso de 4 variables.
Mapa
de Karnaugh de 5 variables
En este caso, al ser 5 variables,
se dispondrán de 2^5 = 32 casillas. Para hacer una representación del
mapa correspondiente a las variables A,B,C,D y E se debe realizar un gráfico
como el de la siguiente figura:
Mapa K de 5 variables
El resultado es un mapa de
Karnaugh de 4 variables, el primero de ellos para A= 0 y el segundo para A=1.
Las variables se han puesto en color azul y los valores numéricos de las
casillas de color rojo.
Las variables se han ordenado de
la forma ABCDE. Para comprobar esta circunstancia se puede observar que la
casilla identificada ABCDE = 00001 (mapa de la izquierda, primera columna,
segunda fila) tiene el valor decimal 1.
La aplicación del procedimiento
es similar al de 4 variables aunque a la hora de encontrar casillas adyacentes,
las casillas situadas en ambos mapas en la misma posición relativa se “tocan”.
Es decir, es como si el mapa de la izquierda estuviera situado sobre el
de la derecha de forma que las casillas BCDE=0000 de ambos mapas son adyacentes
y así con el resto de casillas cuyos valores BCDE sean iguales.
Esto da lugar a una mayor
posibilidad de combinaciones a la hora de realizar grupos (ahora tiene más
sentido llamarlo cubos) y es necesario estar atento durante la realización del
procedimiento.
Mapa de Karnaugh de 6 variables
El mapa K de 6 variables es una
nueva extensión del de 4 variables, aunque ahora es necesario alojar a 2^6 = 64
casillas. En la figura siguiente se puede observar una representación
cuando las variables son ABCDEF:
Mapa K de 6 variables
Ahora, las variables A y B son
las que se utilizan para identificar cada uno de los 4 mapas K de 4 variables.
El procedimiento de obtención de
grupos (o cubos) es, en concepto, el mismo que para los casos anteriores. Sin
embargo, la búsqueda de adyacencias para formar los grupos debe extenderse a
las casillas equivalente de los mapas de la izquierda (o derecha) y de arriba
(o abajo). Esto incrementa la dificultad de realizar el procedimiento
correctamente.
Mapas de Karnaugh
Mapas
de Karnaugh
El método de los mapas de Karnaugh es un método gráfico
para encontrar las formas minimales de sumas de productos para expresiones
booleanas que involucran un máximo de seis variables. Aquí sólo trataremos los
casos de dos, tres y cuatro variables.
Dado un conjunto de variables {A1, A2, …, AN}, pueden con
ellas formarse los productos fundamentales Pi que contienen todas las
variables, o bien en su forma complementada o bien en su forma no
complementada. De tales productos fundamentales, se dice que P1 y P2 son
adyacentes si difieren exactamente en un literal, el cual tiene que ser una
variable complementada en uno de los productos y no complementada en el otro.
Por ejemplo, si el conjunto de variables es {A, B, C, D}:
En un mapa de Karnaugh, cada uno de los productos fundamentales
Pi que contienen todas las variables es representado gráficamente por un
cuadrado, y la relación de adyacencia entre tales productos es representada por
la adyacencia geométrica.
Expresiones booleanas minimales
Expresiones
booleanas minimales
Considérese una expresión E en un álgebra de Boole B.
Como E puede representar un circuito lógico, es posible que pretendamos obtener
una expresión F que, siendo equivalente a la expresión original, sea en algún sentido
mínima; de esta forma, lograríamos minimizar la cantidad de compuertas lógicas
utilizadas para implementar la operación buscada, con la consiguiente economía
de recursos. Aquí nos concentraremos en la forma minimal de las expresiones
booleanas que están en forma de suma de productos.
Si E es una expresión booleana en forma de suma de productos,
EL denota el número de literales en E (contados con sus repeticiones) y ES
denota el número de sumandos en E.
Por ejemplo, si E es la siguiente expresión:
Entonces EL=14 y ES=4.
Sea ahora F una expresión booleana de suma de productos
equivalente a E. Decimos que E es más simple que F si se cumple que:
EL ≤ FL y ES ≤ FS
Y por lo menos una de las relaciones es una desigualdad
estricta.
Definición: Una expresión booleana E está en forma minimal
de suma de productos si está en forma de suma de productos y no hay ninguna
otra expresión equivalente en forma de suma de productos que sea más simple que
E.
Circuitos lógicos
Circuitos
lógicos
Los circuitos lógicos se forman combinando compuertas
lógicas. La salida de un circuito lógico se obtiene combinando las tablas correspondientes
a sus compuertas componentes.
Por ejemplo:
Es fácil notar que las tablas correspondientes a las
compuertas OR, AND y NOT son respectivamente idénticas a las tablas de verdad
de la disyunción, la conjunción y la negación en la lógica de enunciados, donde
sólo se ha cambiado V y F por 0 y 1. Por lo tanto, los circuitos lógicos, de
los cuales tales compuertas son elementos, forman un álgebra de Boole al igual
que los enunciados de la lógica de enunciados.
Adoptaremos, entonces, aquí las mismas convenciones
adoptadas en el caso del álgebra de Boole:
• Omitimos el símbolo *, usándose en su lugar la
yuxtaposición de variables.
• Establecemos que + es más fuerte que * y * es más
fuerte que - .
Puesto que tanto el álgebra de Boole es la estructura
algebraica tanto de los circuitos como de la lógica de enunciados, la salida de
un circuito lógico también puede expresarse en el lenguaje de la lógica de
enunciados. Por ejemplo, la salida del circuito anterior resulta:
Ejemplo:
La salida de este circuito,
expresada en el lenguaje de la lógica de enunciados, resulta:
Compuertas lógicas derivadas: NOR, NAND, Separador (yes)
Compuerta
Separador (yes):
Un símbolo
triángulo por sí mismo designa un circuito separador, el cual no produce
ninguna función lógica particular puesto que el valor binario de la salida es
el mismo de la entrada.
Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal. Por ejemplo, un separador que utiliza 5 volt para el binario 1, producirá una salida de 5 volt cuando la entrada es 5 volt. Sin embargo, la corriente producida a la salida es muy superior a la corriente suministrada a la entrada de la misma.
De ésta manera, un separador puede excitar muchas otras compuertas que requieren una cantidad mayor de corriente que de otra manera no se encontraría en la pequeña cantidad de corriente aplicada a la entrada del separador.
Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal. Por ejemplo, un separador que utiliza 5 volt para el binario 1, producirá una salida de 5 volt cuando la entrada es 5 volt. Sin embargo, la corriente producida a la salida es muy superior a la corriente suministrada a la entrada de la misma.
De ésta manera, un separador puede excitar muchas otras compuertas que requieren una cantidad mayor de corriente que de otra manera no se encontraría en la pequeña cantidad de corriente aplicada a la entrada del separador.
Compuerta
NAND:
Es el complemento
de la función AND, como se indica por el símbolo gráfico, que consiste en una
compuerta AND seguida por un pequeño círculo (quiere decir que invierte la
señal).
La designación NAND se deriva de la abreviación NOT - AND. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que es la función AND la que se ha invertido.
Las compuertas NAND pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función AND.
La designación NAND se deriva de la abreviación NOT - AND. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que es la función AND la que se ha invertido.
Las compuertas NAND pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función AND.
Compuerta NOR:
La compuerta NOR
es el complemento de la compuerta OR y utiliza el símbolo de la compuerta OR
seguido de un círculo pequeño (quiere decir que invierte la señal). Las
compuertas NOR pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el
complemento de la función OR.
Compuertas lógicas básicas: OR, AND, NOT.
Compuerta
AND:
Cada compuerta
tiene dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria designada
por x.
La compuerta AND produce la multiplicación lógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0.
Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1.
El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*).
Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si todas las entradas son 1.
La compuerta AND produce la multiplicación lógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0.
Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1.
El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*).
Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si todas las entradas son 1.
Compuerta
OR:
La compuerta OR
produce la función sumadora, esto es, la salida es 1 si la entrada A o la
entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0.
El símbolo algebraico de la función OR (+), es igual a la operación de aritmética de suma.
Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
El símbolo algebraico de la función OR (+), es igual a la operación de aritmética de suma.
Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
Compuerta NOT:
El circuito NOT
es un inversor que invierte el nivel lógico de una señal binaria. Produce el
NOT, o función complementaria. El símbolo algebraico utilizado para el
complemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria.
Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa.
El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designa un inversor lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa.
Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa.
El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designa un inversor lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa.
Compuertas lógicas
Compuertas
lógicas
Los circuitos lógicos se construyen a partir de ciertos
circuitos elementales denominados compuertas lógicas
Las compuertas son bloques del hardware que producen señales en
binario 1 ó 0 cuando se satisfacen los requisitos de entrada lógica. Las
diversas compuertas lógicas se encuentran comúnmente en sistemas de
computadoras digitales. Cada compuerta tiene un símbolo gráfico diferente y su
operación puede describirse por medio de una función algebraica. Las relaciones
entrada - salida de las variables binarias para cada compuerta pueden
representarse en forma tabular en una tabla de verdad.
Entre las cuales diferenciaremos:
¿Qué es un Circuito Lógico?
¿Qué es un Circuito Lógico?
Un Circuito Lógico es aquel que maneja la información en
forma de "1" y "0", dos niveles lógicos de voltaje fijos.
"1" nivel alto o "high" y "0" nivel bajo o
"low". Puede ser cualquier circuito que se comporte de acuerdo con un
conjunto de reglas lógicas.
Los circuitos lógicos, forman la base de cualquier
dispositivo en el que se tengan que seleccionar o combinar señales de manera
controlada. Entre los campos de aplicación de estos tipos de circuitos pueden
mencionarse la conmutación telefónica, las transmisiones por satélite y el
funcionamiento de las computadoras digitales.
Los valores 0 y 1
pueden representar ciertas situaciones físicas como, por ejemplo, un voltaje nulo y no nulo en un conductor.
Definición de álgebra de Boole
Definición
de álgebra de Boole
Sea B un conjunto en el cual se definen dos operaciones
binarias, + y *, y una
Operación unitaria denotada; sean 0 y 1 dos elementos
diferentes de B. Entonces la séxtupla:
〈B, +, *, , 0, 1〉
se denomina álgebra de Boole si se cumplen los siguientes
axiomas para cualesquiera elementos a,
b, c del conjunto B:
[B1] Conmutatividad:
(1a) a + b = b + a
(1b) a * b = b * a
[B2] Distributividad:
(2a) a + (b * c) =
(a + b) * (a + c) (2b) a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
[B3] Identidad:
(3a) a + 0 = a
(3b) a * 1 = a
[B4] Complemento:
(4a) a + a = 1 (4b) a * a = 0
Algebra de Boole
ÁLGEBRA
DE BOOLE
El álgebra de Boole se llama así debido a George Boole,
quien la desarrolló a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole denominada
también álgebra de la lógica, permite prescindir de la intuición y simplificar
deductivamente afirmaciones lógicas que son todavía más complejas.
domingo, 9 de noviembre de 2014
Circuitos Lógicos
Colegio
de ciencias y humanidades plantel sur
Cibernética y computación 1
Profesor:
Luis Enrique Rodríguez Maldonado
Trabajo
de investigación
Circuitos
lógicos
Hernández
Luna Javier Miguel
Grupo
562
Viernes
17 de octubre de 2014
Introducción
Todos los
procesos complejos de una computadora no son más que simples operaciones
aritméticas y lógicas básicas, como sumar bits, complementar bits, comparar y
mover bits. Estas operaciones son usadas para controlar la forma como una
computadora trata los datos, accesa a memoria y genera resultados. Todas estas
funciones del procesador son físicamente realizadas por circuitos electrónicos,
llamados circuitos lógicos. Así, una computadora digital no es más que un
conjunto de circuitos lógicos.
El estudio de los circuitos lógicos está motivado sobre todo por su uso en las computadoras digitales. Pero tales circuitos también forman la base de muchos otros sistemas digitales que realizan operaciones aritméticas con números no es de interés primario. Por ejemplo, en una miríada de aplicaciones de control de acciones se determinan mediante algunas sencillas operaciones lógicas en la información de entrada, sin tener que hacer extensos cálculos numéricos.
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